Koníček absolvoval zahraniční obchod na pražské Vysoké škole ekonomické. Před rokem 1989 pracoval například ve švédském Götteborgu a v západoněmeckém Wiesbadenu, kde zastupoval dceřinou firmu společnosti Intersigma. Koníčkovo jméno je spjato i s dalšími firmami, například s I. B. C. Praha.

V roce 2002 se ucházel za ČSSD o křeslo poslance, ve volbách ale neuspěl. Do Sněmovny ale usedl jako náhradník za zesnulou kolegyni v červnu 2005 (na mandát rezignoval v lednu 2006). Mimo jiné byl místopředsedou sněmovního výboru pro sociální politiku a zdravotnictví. Dva roky byl také náměstkem ministra práce a sociálních věcí Zdeňka Škromacha.

Od června 2006 do února 2007 působil jako ředitel Lesů ČR. Tam byl napřed náměstkem generálního ředitele pro obchod, marketing a strategii. Do čela podniku jej jmenovala těsně před koncem svého mandátu vláda Jiřího Paroubka. Poté, co se po volbách v roce 2006 dostala k vládě ODS, Koníček ve funkci skončil.

Poté se zabýval především podnikáním. V roce 2013 kývnul na nabídku Jiřího Rusnoka stát se ministrem práce a sociálních věcí v jeho úřednickém kabinetu.