Kohout se narodil 29. března 1961 v Plzni. Absolvent Filozofické fakulty Univerzity Karlovy pracoval do roku 1990 v Ústavu mezinárodních vztahů, pak přešel na ministerstvo zahraničí. V období 1995 až leden 2000 byl zástupcem vedoucího Stálé mise ČR při OSN, OBSE a dalších mezinárodních organizací se sídlem ve Vídni.

Od srpna 2002 byl náměstkem ministra a od ledna 2003 státním tajemníkem pro evropské záležitosti a prvním náměstkem ministra. Od května 2004 do září 2007 byl velvyslancem ČR při Evropské unii a poté opět náměstkem ministra. V dubnu 2005 Kohout jednal s tehdejším premiérem Stanislavem Grossem (ČSSD) o tom, že by ho případně vystřídal v čele vlády. Grossovu nabídku však nakonec odmítl a v čele vlády stanul Jiří Paroubek.

V druhé polovině 80. let byl Kohout členem KSČ. V roce 1995 vstoupil do ČSSD, za kterou se v roce 2010 neúspěšně ucházel o post senátora.

V prosinci 2010 skončil po dvou dekádách na ministerstvu zahraničních věcí a v diplomacii a nastoupil do dozorčí rady polostátního podniku ČEZ. Od října 2011 působil Jan Kohout zhruba rok také jako šéf Smíšené česko-čínské obchodní komory.

O Kohoutovi se v roce 2013 začalo spekulovat jako o vážném adeptovi na post ministra zahraničí úřednické vlády Jiřího Rusnoka. Toto místo nakonec přijal.