Melková se narodila 24. ledna ve Velkých Bílovicích. Střední školu absolvovala v Kroměříži, poté začala studovat na Státní konzervatoři v Praze operní zpěv.

Byla členkou sboru Státní opery Praha a později také vystupovala spolu se sbory a orchestry v Německu, Itálii a Francii. Od roku 2015 je členkou Pražského filharmonického sboru.

V současnosti se Melková více věnuje politické činnosti. Vstoupila do hnutí ANO a v roce 2016 se za tuto stranu dostala do zastupitelstva Středočeského kraje. O rok později byla v tomto kraji za ANO zvolena také do Poslanecké sněmovny.

Ve Sněmovně je členkou volebního výboru a výboru pro vědu, vzdělávání, kulturu, mládež a tělovýchovu.