Bubeníček se narodil 5. ledna 1953 v Ústí nad Orlicí, kde také vystudoval gymnázium. V jednadvaceti letech vstoupil během základní vojenské služby do KSČ.

Zpočátku se Bubeníček živil jako dělník ve sklárně, nedlouho po vstupu do KSČ ale začal dělat kariéru jako placený stranický funkcionář.

Po převratu v roce 1989 Bubeníček vyměnil stranický průkaz KSČ za členství v Komunistické straně Čech a Moravy (KSČM). Tam působil až do roku 1995 jako předseda okresního výboru. Od té doby se až do roku 2008 živil jako redaktor komunistického deníku Haló noviny.

Od roku 2004 je Bubeníček zastupitelem Ústeckého kraje, dvakrát také neúspěšně kandidoval do Senátu. V roce 2012 se stal hejtmanem Ústeckého kraje, což bylo vůbec poprvé, kdy v čele kraje stanul komunistický hejtman.

Bubeníček je ženatý a má tři děti.