Ondřej Veselý se narodil 3. května 1976 v Krnově. Po vystudování gymnázia v Novém Jičíně studoval práva nejprve v Plzni a poté v Praze, kde získal titul JUDr. V roce 2006 složil advokátní zkoušku a stal se advokátem.

Do ČSSD vstoupil v roce 2003. Poprvé kandidoval o rok později do krajského zastupitelstva, avšak neúspěšně. Mandát zastupitele získal v komunálních volbách 2006 v Písku. O čtyři roky později svůj post obhájil a byl zvolen starostou. I když v roce 2014 znovu získal křeslo zastupitele, na pozici starosty jej vystřídala Eva Vanžurová z hnutí Jihočeši.

Do zastupitelstva Jihočeského kraje se dostal v roce 2008 a tuto pozici zastával až do roku 2016.

Když v červnu 2017 odstoupil z pozice lídra jihočeské kandidátky ČSSD pro volby do Poslanecké sněmovny Stanislav Mrvka, nahradil jej Veselý. Jako lídr kandidátky získal pro ČSSD jediné poslanecké křeslo v kraji. Ve Sněmovně zasedá ve výboru pro veřejnou správu a regionální rozvoj a je místopředsedou výboru pro evropské záležitosti.

Ondřej Veselý je ženatý a má tři děti.