Plíšek se narodil 11. listopadu 1974. Studoval Právnickou fakultu na Masarykově univerzitě v Brně. Pracoval například na ministerstvu informatiky a na ministerstvu zdravotnictví. V letech 2006 až 2014 zasedal v zastupitelstvu Prahy 4.

V letech 1993 až 2009 byl členem KDU-ČSL, od roku 2009 je členem TOP 09.

V lednu roku 2009 ho tehdejší ministryně zdravotnictví Daniela Filipiová jmenovala náměstkem pro legislativu a právo. Tuto funkci vykonával nadále i za ministrů Dany Juráskové, Leoše Hegera a Martina Holcáta. Odešel s nástupem Svatopluka Němečka.

V roce 2013 se nedostal do Poslanecké sněmovny, ale byl prvním náhradníkem. Po zvolení Stanislava Polčáka do Evropského parlamentu ho nahradil ve Sněmovně. Při volbách v roce 2017 nastala podobná situace - ve volbách neuspěl, ale skončil jako druhý náhradník.

Je ženatý. Má dvě dcery. Jeho největšími koníčky jsou historie, hudba a turistika.