Pelikán se narodil 18. října 1979. Jeho matka, Irena Pelikánová, je profesorka obchodního práva a od května 2004 působí jako soudkyně Tribunálu Soudního dvora EU. Jeho otec Dragutin Pelikán přednášel na Právnické fakultě Univerzity Karlovy právní dějiny se zaměřením na ruskou právní historii. Pelikán je rozvedený a má jednu dceru. Rád jezdí na kole a cvičí jógu.

V letech 1998 až 2003 vystudoval Právnickou fakultu Univerzity Karlovy. Tam také začal v roce 2004 přednášet na katedře občanského práva. V letech 2002 až 2007 pracoval jako koncipient v advokátní kanceláři Císař, Češka, Smutný a spol. Poté složil advokátskou zkoušku a začal pracovat v advokátní kanceláři Linklaters. Roku 2009 se stal partnerem v advokátní kanceláři Vrána & Pelikán.

Jako advokát se Pelikán specializoval na problematiku obchodních společností, závazkového práva, práva hospodářské soutěže a řešení sporů. Zastupoval například rodinu, jejímuž synovi v pražském metru eskalátor amputoval tři prsty. Hájil také město Karlovy Vary ve sporu se skupinou firem o vlastnictví sportovního centra KV Arena. V roce 2014 pozastavil svůj výkon advokacie.

V srpnu 2012 ho tehdejší ministr průmyslu a obchodu Martin Kuba (ODS) nominoval na člena rady Českého telekomunikačního úřadu. Následně ale nominaci stáhl.

Cesta na ministerstvo spravedlnosti

Po jmenování nové vlády v roce 2014 si Andrej Babiš vzal Pelikána na ministerstvo financí jako ředitele právní sekce. V létě 2014 se stal prvním náměstkem na ministerstvu spravedlnosti poté, co místo opustila Hana Marvanová kvůli sporům s ministryní Helenou Válkovou. Po oznámení její rezignace se stal Pelikán hlavním a jediným kandidátem na post ministra spravedlnosti, kterým se i stal.

Na funkci ministra byl znovu navrhnut se vznikem Babišovy nové vlády v roce 2017.

Od roku 2015 je členem hnutí ANO 2011.

V roce 2017 kandidoval ve volbách do Poslanecké sněmovny a se ziskem 14 699 preferenčních hlasů byl zvolen poslancem.

Odchod z politiky

V roce 2018 oznámil odchod z politiky. Opustil post ministra i poslance, ale řadovým členem hnutí ANO zůstal. Odchod zdůvodnil především názorovými neshodami s většinou hnutí ANO. Ve Sněmovně ho nahradila Monika Červíčková. Ve funkci ministra spravedlnosti ho vystřídala Taťána Malá. Pelikán má v plánu vrátit se k advokacii a výuce na Právnické fakultě UK.