Pelikán se narodil 18. října 1979. Jeho matka, Irena Pelikánová, je profesorka obchodního práva a od května 2004 působí jako soudkyně Tribunálu Soudního dvora EU. Jeho otec Dragutin Pelikán přednášel na Právnické fakultě Univerzity Karlovy právní dějiny se zaměřením na ruskou právní historii.

V letech 1998 až 2003 vystudoval Právnickou fakultu Univerzity Karlovy. Tam také začal v roce 2004 přednášet na katedře občanského práva. V letech 2002 až 2007 pracoval jako koncipient v advokátní kanceláři Císař, Češka, Smutný a spol. Poté složil advokátskou zkoušku a začal pracovat v advokátní kanceláři Linklaters. Roku 2009 se stal partnerem v advokátní kanceláři Vrána & Pelikán.

Jako advokát se Pelikán specializoval na problematiku obchodních společností, závazkového práva, práva hospodářské soutěže a řešení sporů. Zastupoval například rodinu, jejímuž synovy v pražském metru eskalátor amputoval tři prsty. Hájil také město Karlovy Vary ve sporu se skupinou firem o vlastnictví sportovního centra KV Arena. V roce 2014 pozastavil svůj výkon advokacie.

V srpnu 2012 ho tehdejší ministr průmyslu a obchodu Martin Kuba (ODS) nominoval na člena rady Českého telekomunikačního úřadu. Následně ale nominaci stáhl.

Cesta na ministerstvo spravedlnosti

Po jmenování nové vlády v roce 2014 si Andrej Babiš vzal Pelikána na ministerstvo financí jako ředitele právní sekce. V létě 2014 se stal prvním náměstkem na ministerstvu spravedlnosti poté, co místo opustila Hana Marvanová kvůli sporům s ministryní Helenou Válkovou.

Poté co Válková oznámila svou rezignaci, stal se Pelikán hlavním a jediným kandidátem na post ministra spravedlnosti.

Pelikán je rozvedený a má jednu dceru. Rád jezdí na kole a cvičí jógu.